Algèbre linéaire Exemples

[\begin{matrix} 5 & 0 1 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$2$ est la matrice carrée

$2 \times 2$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{2})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ I_{2})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{2}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 5 - λ & 0 \\ 1 & 5 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.1

Développez

$(5 - λ) (5 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ (5 - λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 5 \cdot 5 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$5$ .

$p (λ) = 25 + 5 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$5$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.3

Multipliez

$5$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = 25 - 5 λ - 5 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.2.2

Soustrayez

$5 λ$ de

$- 5 λ$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2} - 1 \cdot 0$

Étape 1.5.2.3

Soustrayez

$0$ de

$25 - 10 λ + λ^{2}$ .

$p (λ) = 25 - 10 λ + λ^{2}$

Étape 1.5.2.4

Déplacez

$25$ .

$p (λ) = - 10 λ + λ^{2} + 25$

Étape 1.5.2.5

Remettez dans l’ordre

$- 10 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 10 λ + 25$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$λ^{2} - 10 λ + 25 = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.7.1.1

Réécrivez

$25$ comme

$5^{2}$ .

$λ^{2} - 10 λ + 5^{2} = 0$

Étape 1.7.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 λ = 2 \cdot λ \cdot 5$

Étape 1.7.1.3

Réécrivez le polynôme.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Étape 1.7.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où

$a = λ$ et

$b = 5$ .

${(λ - 5)}^{2} = 0$

Étape 1.7.2

Définissez le

$λ - 5$ égal à

$0$ .

$λ - 5 = 0$

Étape 1.7.3

Ajoutez

$5$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 5$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 5$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] - 5 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$- 5$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 \cdot 1 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$- 5$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & - 5 \cdot 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$- 5$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ - 5 \cdot 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$- 5$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$- 5$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 0 \\ 1 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 5 & 0 \\ 0 & - 5 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 5 - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Étape 3.2.3

Simplify each element.

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez

$5$ de

$5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Étape 3.2.3.2

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 + 0 & 5 - 5 \end{array}]$

Étape 3.2.3.3

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 5 - 5 \end{array}]$

Étape 3.2.3.4

Soustrayez

$5$ de

$5$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 5$ .

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Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.3.2.1

Swap

$R_{2}$ with

$R_{1}$ to put a nonzero entry at

$1, 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}]}$